直交補空間

定義:

直交補空間[orthogonal complement]とは,ベクトル空間の部分空間に対して定義される概念.ある部分空間の直交補空間は,その部分空間と直交する全てのベクトルからなる空間である.
すなわち,次の集合として定義される.
ベクトル空間 $ V $ の部分空間 $ W $ に対して,$ W $ の直交補空間 $ W^{\perp} $ は,
$W^{\perp} = \{ \mathbf{v} \in V \mid \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0 \, \text{for all} \, \mathbf{w} \in W \}$

直交補空間には次のような重要な性質がある:

  1. 直交性: $( W \cap W^{\perp} = \{ \mathbf{0} \} )$.すなわち,$( W )$ と $( W^{\perp} )$ の共通部分はゼロベクトルのみ.
  2. 次元: $( \dim(W) + \dim(W^{\perp}) = \dim(V) )$.ベクトル空間 $( V )$ の次元は,部分空間 $( W )$ の次元とその直交補空間 $( W^{\perp} )$ の次元の和に等しい.
  3. 全空間の直交分解: $( V = W \oplus W^{\perp} )$.すなわち,任意のベクトル $( \mathbf{v} \in V )$ は一意的に $( \mathbf{v} = \mathbf{w} + \mathbf{w}^{\perp} )$ と表すことができる.ここで,$( \mathbf{w} \in W )$ かつ $( \mathbf{w}^{\perp} \in W^{\perp} )$ である.

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