有限次元ベクトル空間とその双対空間

$V = \mathbb{R}^2$を標準基底$\{e_1, e_2\}$を持つベクトル空間とする.

この時,一般の元$v \in V$は次のように表される:\[v = v^1e_1 + v^2e_2 = \begin{pmatrix} v^1 \\ v^2 \end{pmatrix}\]双対空間$V^*$の基底を$\{e^1, e^2\}$とすると,双対空間の一般の元$f \in V^*$は:\[f = f_1e^1 + f_2e^2\]この$f$は線形汎関数として次のように作用する:\[f(v) = f_1v^1 + f_2v^2\]例えば,$v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$に対して,$f = 2e^1 + e^2$は:\[f(v) = 2(2) + 1(3) = 7\]

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