Def：Euler's number
自然対数の底[the base of the natural logarithm] $e$ は,次の極限によって定義される定数である.\[e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.\]
指数関数の冪級数展開により, 自然対数の底 $e$ は次のように表される：\[e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots\]部分和を手計算風に順次加えていくと,\[\begin{aligned}S_0 &= 1,\\S_1 &= 1 + \frac{1}{1} = 2,\\S_2 &= 2 + \frac{1}{2} = 2.5,\\S_3 &= 2.5 + \frac{1}{6} \approx 2.6666667,\\S_4 &= 2.6666667 + \frac{1}{24} \approx 2.7083333,\\S_5 &= 2.7083333 + \frac{1}{120} \approx 2.7166667,\\S_6 &= 2.7166667 + \frac{1}{720} \approx 2.7180556,\\S_7 &\approx 2.71825397,\\S_8 &\approx 2.71827877,\\S_9 &\approx 2.71828153,\\S_{10} &\approx 2.71828180.\end{aligned}\]ここで分かるように, 部分和を一つずつ加えるごとに $e \approx 2.7182818\ldots$ に収束する.
自然対数の底 $e$ は,指数関数の微分において特別な性質を持っている.関数\[f(x) = e^x\]を考える.ここで $e$ は自然対数の底である.微分の定義より\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}\]である.右辺を因数分解すると\[\frac{e^{x+h}-e^x}{h} = \frac{e^x (e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h}\]である.
極限を取ると\[f'(x) = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}\]である.
ここで\[\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1\]が成り立つ.これは $e$ の定義そのものに基づく性質である.
従って,\[\frac{d}{dx} e^x = e^x\]である.
すなわち,自然対数の底 $e$ の指数関数は,微分しても自分自身になる特別な関数である.
Mathematics is the language with which God has written the universe.