集合関数Pの連続性
Difinition:
集合関数Pの連続性[continuous distribution]とは,
測度論において,
集合列に対する
極限操作と
測度の順序が
交換可能であるような性質を指す.主に以下の2種類に分類される.
- 単調増加列に対する連続性:可測集合の単調増加列\[A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \cdots\]に対して,\[P\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)\]が成り立つとき,$P$ は 下からの連続性[continuity from below]を持つという.
- 単調減少列に対する連続性:可測集合の単調減少列\[A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq \cdots\]に対して,かつ $P(A_1) < \infty$ を仮定すると,\[P\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)\]が成り立つとき,$P$ は上からの連続性[continuity from above]を持つという.
この性質は,確率測度の整合性と数学的取り扱いやすさを保証するものであり,確率論・測度論において基本かつ重要である.直感的には以下のように理解できる.
- 集合が徐々に大きくなると[単調増加列],その確率も極限に向かって増加する.
- 集合が徐々に小さくなると[単調減少列],その確率も極限に向かって減少する.
このように,集合関数 $P$ の連続性とは,無限和や無限交に対する確率の極限が対応する集合の測度と一致するという意味である.
つまり,集合列に対する極限操作と測度の順序が交換可能であるというのは,たくさんの集合を順番に足し合わせたり,重ねたりしてできる極限の集合の大きさ[＝測度や確率]を求めるとき,先に集合の極限をとってから大きさを測っても,一つ一つの集合の大きさを測ってから極限をとっても結果は同じと言うことを意味する.
Mathematics is the language with which God has written the universe.
