Formula:
まず,対数階乗を取る.\[\ln(n!) = \sum_{k=1}^{n} \ln k\]
この和を積分で近似する.積分評価と補正項を加えると,\[\sum_{k=1}^{n} \ln k \approx \int_1^n \ln x \, dx + \frac{1}{2}(\ln n + \ln 1)\]
部分積分の公式\[\int u \, dv = uv - \int v \, du\]
を利用する.ここで,$u = \ln x$, $dv = dx$ とすると,\[\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C\]
従って,\[\int_1^n \ln x \, dx = n \ln n - n - (1 \ln 1 - 1) = n \ln n - n + 1\]
補正項を加えて,\[\ln(n!) \approx n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + 1\]
オイラー=マクローリン公式による定数項を含めると[備考参照],\[\ln(n!) = n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \ln \sqrt{2\pi} + \varepsilon(n)\quad \text{with } \varepsilon(n) \to 0\]
指数をとる.\[n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n\]
次に,ガンマ関数による補強を行う.ガンマ関数とは,\[\Gamma(n+1) = \int_0^\infty x^n e^{-x} dx = n!\]である.そこで,被積分関数 $x^n e^{-x}$ の極大点を求めると,\[\ln f(x) = n \ln x - x \Rightarrow \frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{n}{x} - 1 = 0\Rightarrow x = n\]
つまり,極大点は $x = n$ である.変数変換 $x = n + t\sqrt{n}$ により,\[dx = \sqrt{n} \, dt, \quad x^n e^{-x} \approx n^n e^{-n} e^{-t^2/2}\]
よって,\[n! = \int_0^\infty x^n e^{-x} dx \approx n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/2} dt= n^n e^{-n} \sqrt{n} \cdot \sqrt{2\pi}\]
従って,\[n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n\]
以上より,スターリングの公式が導出される.\[n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n\]
これは階乗の漸近挙動を指数関数と冪関数を用いて記述する,極めて重要な漸近公式である.
スターリングの漸近展開の定数項を含む形を以下のように表す.\[\ln n! = n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + C + \varepsilon(n)\]ここで,$C$ は不定の定数,$\varepsilon(n)$ は小さい誤差項で,$n \to \infty$ で $\varepsilon(n) \to 0$ とする.この式に対して,$n = \frac{1}{2}$ を代入すると,\[\ln \left(\frac{1}{2}!\right) = \left(\frac{1}{2}\right) \ln \left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1}{2}\right) + C + \varepsilon\left(\frac{1}{2}\right)\]左辺はガンマ関数の定義より,\[\ln \left(\frac{1}{2}!\right) = \ln \Gamma\left(\frac{1}{2} + 1\right) = \ln \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\]右辺の対数項をまとめると,\[\left(\frac{1}{2}\right) \ln \left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1}{2}\right) = \ln \left(\frac{1}{2}\right)\]よって右辺は\[\ln \left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} + C + \varepsilon\left(\frac{1}{2}\right)\]以上より,\[\ln \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \ln \left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} + C + \varepsilon\left(\frac{1}{2}\right)\]ここで,ガンマ関数の再帰関係\[\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)\]を使うと,\[\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\]さらに既知の値として,\[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\]があるため,\[\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}\]これより,\[\ln \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln \pi\]となる.したがって,上の等式から\[\ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln \pi = \ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + C + \varepsilon\left(\frac{1}{2}\right)\]両辺から $\ln \frac{1}{2}$ を打ち消して,\[\frac{1}{2} \ln \pi = - \frac{1}{2} + C + \varepsilon\left(\frac{1}{2}\right)\]これを整理すると,\[C = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln \pi - \varepsilon\left(\frac{1}{2}\right)\]となる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.