Theorem:
このとき,$f$ を ラドン=ニコディム導関数[Radon–Nikodym derivative]と呼び,\[f = \frac{d\nu}{d\mu}\]と表す.さらに,このような関数 $f$ は $\mu$-ほとんど至るところ一意に定まる.
$\mu$-ほとんど至るところ一意に定まる,というのは$\mu$-測度が 0 の部分を除いてすべてで成立するということを意味する.
ラドン=ニコディム定理[Radon–Nikodym theorem]とは,ある測度が他の測度に対して絶対連続であるとき,その関係を密度関数を使って表せるというという非常に重要な定理.
2つの測度 $\nu$ と $\mu$ があるとき,もし,「$\mu$ がゼロとみなす集合は $\nu$ もゼロとみなす」ならば,$\nu$ は $\mu$ に対して絶対連続であるといい,記号で\[\nu \ll \mu\]と書ける.このとき,「$\nu$ は $\mu$ に密度をかけてできている」ことが保証される.その密度の関数が ラドン=ニコディム導関数[Radon–Nikodym derivative]である.
ここで,$\nu$ は $\mu$ に絶対連続というのは$\mu$ が無視するものを $\nu$ も無視するという意味である.つまり,測度論においては,記号 $\ll$ の向きは「無視の伝播」の方向を示している.
測度 $\nu$ が $\mu$ に絶対連続であるならば,$\nu$ は $\mu$ に「密度」をかけて作れるはず.
だから,$\nu$ を積分で表せるような関数 $f$ を探すことから始める.
そこで,まず小さな候補たちを集める.$\nu(A)$ 以下になるような関数 $f$ の候補をたくさん集める.例えば,積分で $\nu$ を超えない関数など.
候補の中で「できるだけ大きい」関数を選ぶ.これは数学的には Zornの補題などで最大元の存在を示す.
もしこの最大の関数で表せなかった部分があれば,そこに少し足すことでさらに大きい関数ができるはず.
しかし,最大だからそんなことはできない.つまり,この最大の関数だけで $\nu$ 全体を表せてしまう.もし,2つの関数で同じ $\nu$ を表せたら,それらの差はゼロになる部分でしか違わないので,「ほとんど至るところ一意」となる.
集合\[\mathcal{F} := \left\{ f \in L^1_+(\mu) \mid \int_A f \, d\mu \le \nu(A) \quad (\forall A \in \mathcal{F}) \right\}\]を考える.但し,$L^1_+(\mu)$ は非負な $\mu$-可積分関数の空間を表す.$\mathcal{F}$ は空でない[例えば $f \equiv 0$ は常に含まれる].$\mathcal{F}$ に対して,$f \le g$（$\mu$-a.e.）を順序として定義すると,$\mathcal{F}$ は順序集合となる.
次に,任意の全順序部分集合 $\{f_i\}_{i \in I} \subset \mathcal{F}$ に対して,点ごとの上限\[f := \sup_{i \in I} f_i\]をとる.$f$ は可測で,$\mu$-可積分である[単調収束定理により].\[\int_A f \, d\mu = \sup_{i \in I} \int_A f_i \, d\mu \le \nu(A) \quad (\forall A \in \mathcal{F}).\]
従って, $f \in \mathcal{F}$ であり,$\mathcal{F}$ は任意の全順序部分集合に上限を持つ.
Zornの補題より, $\mathcal{F}$ は最大元 $f_0$ を持つ.
続いて,最大元が実現することの確認を行う.集合関数\[g(A) := \nu(A) - \int_A f_0 \, d\mu\]を定義する.これは非負かつ符号付測度である.
もしある集合 $E$ に対して $g(E) > 0$ ならば,ある $\varepsilon > 0$ に対して,\[f_1 := f_0 + \varepsilon \cdot \chi_E\]とすれば,\[\int_A f_1 \, d\mu = \int_A f_0 \, d\mu + \varepsilon \mu(A \cap E) \le \nu(A)\]を満たすように $\varepsilon$ を十分小さく選べば $f_1 \in \mathcal{F}$ かつ $f_1 > f_0$ となり,$f_0$ の最大性に矛盾.
従って,$g(A) = 0$ for all $A$,すなわち,\[\nu(A) = \int_A f_0 \, d\mu \quad (\forall A \in \mathcal{F})\]が成り立つ.
さらに,一意性の確認を行う.もし $f$ と $g$ がともにラドン=ニコディム導関数ならば,\[\int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu \quad (\forall A \in \mathcal{F}) \Rightarrow \int_A (f - g) \, d\mu = 0.\]
これがすべての $A$ に対して成り立つならば,$f = g$ は $\mu$-ほとんど至るところで一致する.
Mathematics is the language with which God has written the universe.