ユークリッド空間 Euclidean space

$n$次元ユークリッド空間とは，集合 $$\mathbb{R}:=\{ x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n});x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n} \in \mathbb{R}\}$$ であって，かつ，内積を持ち，以下の性質を持つベクトル空間を持つものと定義されます． $$x=(x_{1},\cdots,x_{n}),y=(y_{1},\cdots,y_{n}) \in \mathbb{R}^{n},\alpha \in \mathbb{R}$$

• 相当性： $$x=y \Longleftrightarrow x_{i}=y_{i}(i=1,\cdots,n)$$
• 加法： $$x+y=(x_{1}+y_{1},\cdots,x_{n}+y_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$$
• スカラー乗法： $$\alpha x=(\alpha x_{1},\cdots,\alpha x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$$
• 内積： $$(x,y):=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$$