運動エネルギーと仕事

$x$軸方向に力$F$を受ける質量$m$の物体の位置と速度が,時刻$t_{0}$では$x_{0},v_{0}$であり,時刻$t_{1}$では$x_{1},v_{1}$となるとします.

このときの運動方程式は,$a$を加速度[$m/s^{2}$]として,\[F[N]=ma[kg \cdot m/s^{2}]\]と表されます.

この運動方程式の両辺について,$x_{0}$から$x_{1}$までの定積分を求めると,\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}madx\]となります.

ここで,\[a=\frac{dv}{dt}\]であるので,\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}m\frac{dv}{dt}dx\]また,\[v=\frac{dx}{dt}\]すなわち,\[dx=vdt\]であるので,\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}m\frac{dv}{dt}vdt\]ここで,\[\frac{d}{dt}(v^{2})=\frac{dv}{dt}\cdot\frac{d}{dv}(v^{2})=\frac{dv}{dt} \cdot 2v\]となるので,\[\frac{dv}{dt} \cdot v=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(v^{2})=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}v^{2})\]となるので,\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fsx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}m\frac{dv}{dt}vdt=\int_{t_{0}}^{t_{1}}m\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}v^{2})dt\]となり,\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^{2})\]を得ます.右辺を積分すると,\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=[\frac{1}{2}]_{t_{0}}^{t_{1}}\]となります.

ここで,\[\begin{eqnarray}[\frac{1}{2}mv^{2}]_{t_{0}}^{t_{1}}&=&\frac{1}{2}m(v(t)^{2})_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=&\frac{1}{2}mv(t_{1})^{2}-\frac{1}{2}mv(t_{0})^{2}\\&=&\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}\end{eqnarray}\]となります.

【定義】運動エネルギー[kinetic energy]

物体の速度を変化させる際に必要な仕事を運動エネルギーといいます.
速度 $v$ で運動する質量 $m$ の物体の運動エネルギー $K$ は,\[K[J]=\frac{1}{2}mv^{2}[kg \cdot m^{2}/s^{2}]\]となります.


Mathematics is the language with which God has written the universe.





















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