ベルヌーイ分布および二項分布は、離散型確率分布の中でも最も基本的なものであり、独立な試行の繰り返しに基づく確率モデルを記述する。特に、成功・失敗のような二値的事象を扱う際に中心的な役割を果たす。
確率 $p \in [0,1]$ に対して、確率変数 $X$ が
\[P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p\]
を満たすとき、$X$ はベルヌーイ分布に従うという。
これは1回の試行における成功（1）と失敗（0）を表す最も単純な確率モデルである。
\[\mathbb{E}[X] = p, \quad \mathrm{Var}(X) = p(1 - p)\]
\[M_X(t) = (1 - p) + p e^t\]
独立なベルヌーイ試行を $n$ 回行い、成功回数を表す確率変数 $X$ に対して、
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0,1,\dots,n\]
と定義される分布を二項分布という。
成功が $k$ 回起こる確率は、成功する試行の選び方が $\binom{n}{k}$ 通りあり、それぞれの確率が $p^k (1-p)^{n-k}$ であることから導かれる。
\[\mathbb{E}[X] = np, \quad \mathrm{Var}(X) = np(1 - p)\]
\[M_X(t) = \big((1 - p) + p e^t\big)^n\]
二項分布はベルヌーイ分布の和として表現できる。すなわち、独立なベルヌーイ確率変数 $X_1, \dots, X_n$ に対して、
\[X = \sum_{i=1}^{n} X_i\]
とすると、$X$ は二項分布 $\mathrm{Bin}(n,p)$ に従う。
二項分布は、極限において他の分布に近似される。
$n$ が大きいとき、
\[\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \Rightarrow \mathcal{N}(0,1)\]
が成立する（中心極限定理）。
$n \to \infty$, $p \to 0$, $np = \lambda$ のとき、
\[P(X = k) \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\]
となり、ポアソン分布に近づく。
ベルヌーイ分布と二項分布は、品質管理、医療試験、通信工学など、成功・失敗の繰り返しを扱う多くの分野で用いられる基本モデルである。
ベルヌーイ分布は単一試行のモデルであり、二項分布はその独立な繰り返しとして構成される。これらは離散確率論の基礎をなす分布であり、極限定理を通じてより一般的な分布との関係も明らかにされる。
Mathematics is the language with which God has written the universe.