一様分布は、ある区間または有限集合においてすべての値が等しい確率で生起する確率分布である。離散型と連続型の両方が存在し、確率論および統計学における最も基本的な分布の一つである。
有限集合 $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ 上で、すべての値が等確率で生起する場合、確率変数 $X$ は離散一様分布に従う。
\[P(X = x_i) = \frac{1}{n}, \quad i = 1,2,\dots,n\]
特に整数値 $\{1,2,\dots,n\}$ 上の一様分布に対して、
\[\mathbb{E}[X] = \frac{n+1}{2}, \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{n^2 - 1}{12}\]
区間 $[a,b]$ 上で一様に分布する確率変数 $X$ は、確率密度関数
\[f(x) =\begin{cases}\frac{1}{b-a} & (a \leq x \leq b) \\0 & \text{otherwise}\end{cases}\]
を持つ。このとき $X \sim \mathrm{Uniform}(a,b)$ と書く。
累積分布関数は
\[F(x) =\begin{cases}0 & (x < a) \\\frac{x-a}{b-a} & (a \leq x \leq b) \\1 & (x > b)\end{cases}\]
\[\mathbb{E}[X] = \frac{a+b}{2}, \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]
連続一様分布は、区間が与えられたときに最も情報を持たない（エントロピーが最大の）分布である。
$X \sim \mathrm{Uniform}(a,b)$ に対して、$Y = \alpha X + \beta$ は
\[Y \sim \mathrm{Uniform}(\alpha a + \beta, \alpha b + \beta)\]
に従う（ただし $\alpha > 0$）。
独立な一様分布に従う確率変数の組は、直積領域上の一様分布となる。
連続一様分布 $X \sim \mathrm{Uniform}(a,b)$ に対して、
\[M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)} \quad (t \neq 0)\]
であり、$t = 0$ のときは連続的に 1 に拡張される。
一様分布は乱数生成の基本モデルであり、モンテカルロ法において基礎的役割を果たす。また、他の分布の生成（逆変換法など）にも利用される。
一様分布はすべての値が等確率で現れるという最も単純な分布であり、離散型と連続型の両方が存在する。その単純さゆえに理論的基礎および応用の両面で重要な役割を果たす。
Mathematics is the language with which God has written the universe.