部分集合
$A$，$B$を任意の集合とするとき，集合$A$が集合$B$の中に"含まれる（contained）"ならば，集合$A$は集合$B$の部分集合（subset）といいます．\[A \subseteq B\]
べき集合（power set）：
集合 $A$ に対して，$A$ の部分集合全体を考えます．これは，\[\mathscr{P}(A)=\{S: S \subseteq A\}\]と表され，$A$ のべき集合（power set）といいます．
フィルター（filter）：
「大きな部分集合の集まり」をフィルター（filter）といいます．
集合 $X$ の部分集合族 $\mathscr{F}$ のどの有限個の要素も空でない共通部分を持つとき，
- $\emptyset \notin \mathscr{M}$
- $A \in \mathscr{M} ,and, A \subseteq B \Rightarrow B \in \mathscr{M}$
- $A,B \in \mathscr{M} \Rightarrow A \cap B \in \mathscr{M}$
という性質を持つ集合族 $\mathscr{M} \supseteq \mathscr{F}$ が取れます．
この集合族 $\mathscr{M}$ をフィルター（filter）といいます．
また，きめのもの凄く細かいフィルターをウルトラフィルター（ultrafilter）といいます．
そして，このウルトラフィルターは確率測度と解釈出来るとも考えられています（Tom Leinster,"Where Do Ultrafilters Come From?"）．
Mathematics is the language with which God has written the universe.
