$e^{-x^{2}}$の無限積分

\[\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx\]この積分値を求めるために，以下の重積分を考える．\[\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy\]ここで，$(x,y)$を極座標$(r,\theta)$に変換して\[\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}x \\y \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r cos\theta \\r sin\theta \\\end{array}\right)\end{eqnarray}\]とおくと，$r$と$\theta$の積分区間は\[\begin{eqnarray}r &:& 0 \rightarrow \infty\\\theta &:& 0 \rightarrow 2\pi \end{eqnarray}\]となる．

また，\[\begin{eqnarray}J=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}cos\theta & -r sin\theta \\sin\theta & r cos\theta \end{vmatrix}= r cos^{2}\theta+r sin^{2}\theta\end{eqnarray}\]\[r cos^{2}\theta+r sin^{2}\theta = r(cos^{2}\theta+sin^{2}\theta)=r\]となることを利用して，\[\begin{eqnarray}\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy&=&\int^{2\pi}_{0}\int^{\infty}_{0}e^{r^{2}}|J|drd\theta\\&=&\int^{2\pi}_{0}(\int^{\infty}_{0}re^{r^{2}}dr)d\theta\end{eqnarray}\]となる．

ここで，\[\lim_{a \rightarrow \infty}[-\frac{1}{2}e^{-r^{2}}]^{a}_{0}=\lim_{a \rightarrow \infty}(-\frac{1}{2}e^{-a^{2}}+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\]であることから，\[\begin{eqnarray}\int^{2\pi}_{0}(\int^{\infty}_{0}re^{r^{2}}dr)d\theta&=&\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1d\theta\\&=&\frac{1}{2}[\theta]_{0}^{2\pi}\\&=&\pi\end{eqnarray}\]となる．

ここで，\[\begin{eqnarray}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy&=&\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx \cdot \int^{\infty}_{-\infty}e^{-y^{2}}dy\\&=&(\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx)^{2}\end{eqnarray}\]以上より，\[(\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx)^{2}=\pi\]となることより，\[\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}\]

Mathematics is the language with which God has written the universe.