グループ内変動

\[\bar{X_{1\cdot}},\bar{X_{2\cdot}},\bar{X_{3\cdot}},\cdots,\bar{X_{M\cdot}}\]をそれぞれのデータセットにおける標本平均は\[\bar{X_{i\cdot}}=\sum_{j}\frac{X_{ij}}{N}\]であることから，全ての$X_{ij}$の総平均は，\[\bar{\bar{X}}=\frac{\sum_{i}\sum_{j}X_{ij}}{MN}\]となる．

ここで，\[X_{ij}-\bar{\bar{X}}=(\bar{X_{i\cdot}}-\bar{\bar{X}})+\bar{X_{ij}}-\bar{X_{i\cdot}})\]の両辺を二乗すると，\[\begin{eqnarray}\sum_{i}\sum_{j}(X_{ij}-\bar{\bar{X}})^{2}=\\ \sum_{i}\sum_{j}(\bar{X_{i\cdot}}-\bar{\bar{X}})^{2}+\sum_{i}\sum_{j}(\bar{X_{i\cdot}}-\bar{X_{i\cdot}})^{2}\\+2\sum_{i}\sum_{j}(\bar{X_{i\cdot}}-\bar{\bar{X}})(X_{ij}-\bar{X_{i\cdot}})\end{eqnarray}\]最後の項目は\[\sum_{i}\sum_{j}(\bar{X_{i\cdot}}-\bar{\bar{X}})(X_{ij}-\bar{X_{i\cdot}})\]\[=\sum_{j}{(\bar{X_{j\cdot}}-\bar{\bar{X}})\sum_{j}(X_{ij}-\bar{X_{i\cdot}})}\]となる．

この式は，\[\bar{X_{i\cdot}}=(\frac{1}{N})\sum_{j}X_{ij}\]であることから，この式は0となる．

従って，\[\sum_{i}\sum_{j}(X_{ij}-\bar{\bar{X}})^{2}=N{\sum_{i}(\bar{X_{i\cdot}}-\bar{\bar{X}})^{2}}+\sum_{i}{\sum_{j}(X_{ij}-\bar{X_{i\cdot}})^{2}}\]が成立する．\[V_{1}=N{\sum_{i}(\bar{X_{i\cdot}}-\bar{\bar{X}})^{2}}\]をグループ間変動といい，\[V_{2}=\sum_{i}{\sum_{j}(X_{ij}-\bar{X_{i\cdot}})^{2}}\]をグループ内変動という．

すなわち，\[全変動=グループ間変動+グループ内変動\]となる．

Mathematics is the language with which God has written the universe.