t分布

t分布

\[Y\sim N(0,1),Z\sim \chi (n)\]のとき,確率変数 $X$ は自由度 $n$ の $t$分布に従います.\[X=\frac { Y }{ \sqrt { \frac { Z }{ n } } } \sim t(n)\]この自由度 $n$ の $t$分布の確率密度は以下のようになります.\[{ t }_{ n }(x)=\frac { 1 }{ \sqrt { n } B(\frac { n }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } ) } { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ -\frac { n+1 }{ 2 } }\]

以下で証明していきます.

まず,\[\begin{eqnarray} f_{ Y }(y) & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } },(-\infty < y < \infty ) \\ { f }_{ Z }(z) &=& \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } { z }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { z }{ 2 } },(z>0) \end{eqnarray}\]であることに留意して,$U=Z$ という確率変数を導入します.そして,$f_{YZ}(y,z)$ から $f_{XU}(x,u)$ を求め,$f_{XU}(x,u)$ を $u$ について積分することで,\[{ t }_{ n }(x)=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { f }_{ XU }(x,u)du } \]という形で,自由度 $n$ の$t$分布の確率密度を求めます.

$Y:-\infty \to \infty,Z:0 \to \infty$ となる領域を $D$ とし,$X$ と $U$ が表す全領域を $E$ とおくと,全確率は1となることから,\[\iint _{ E }^{ }{ { f }_{ XU }(x,u)dxdu=\iint _{ D }^{ }{ { f }_{ YZ }(y,z)dydz=1 } } \]また,\[Z=U\]より,\[Y=X\cdot \sqrt { \frac { Z }{ n } } =\sqrt { \frac { U }{ n } } X\]ここで,\[\begin{eqnarray} \frac { \partial y }{ \partial u } & = & \frac { 1 }{ 2 } { u }^{ \frac { 1 }{ 2 } -1 }\cdot { n }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot x \\ & = & \frac { 1 }{ 2 } { u }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot { n }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot x \end{eqnarray}\]となるため,ヤコビアン $J$ は,\[J=\begin{vmatrix} \frac { \partial y }{ \partial x } & \frac { \partial y }{ \partial u } \\ \frac { \partial z }{ \partial x } & \frac { \partial z }{ \partial u } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \sqrt { \frac { u }{ n } } & \frac { x }{ 2\sqrt { n } \sqrt { u } } \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\sqrt { \frac { u }{ n } } \]となります.

よって,\[\begin{eqnarray} \iint _{ E }^{ }{ { f }_{ XU }(x,u)dxdu } & = & \iint _{ E }^{ }{ { f }_{ Y }(\sqrt { \frac { u }{ n } } x)\cdot { f }_{ Z }(u)\left| J \right| dxdu } \\ & = & \iint _{ E }^{ }{ { f }_{ Y }(\sqrt { \frac { u }{ n } } x)\cdot { f }_{ Z }(u)\cdot \sqrt { \frac { u }{ n } } \cdot dxdu } \end{eqnarray}\]ここで,\[\begin{cases} \begin{eqnarray} { f }_{ Y }(y) & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \cdot { e }^{ -\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } } \\ { f }_{ Z }(z) & = & \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { z }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { z }{ 2 } } \end{eqnarray} \end{cases}\]を代入すると,\[\begin{eqnarray} \iint _{ E }^{ }{ { f }_{ XU }(x,u) } & = & \sqrt { \frac { u }{ n } } \cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \cdot { e }^{ -\frac { u{ x }^{ 2 } }{ 2n } }\cdot \frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { u }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { u }{ 2 } }dxdu \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2n\pi } { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { u }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\cdot { u }^{ \frac { n }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -\frac { u{ x }^{ 2 } }{ 2n } -\frac { u }{ 2 } }dxdu \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2n\pi } { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { u }^{ \frac { n }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot { e }^{ -\frac { u }{ 2 } (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }dxdu \\ & = & 1 \end{eqnarray} \]となることより,求める確率密度は,\[\begin{eqnarray} { t }_{ n }(x) & = & \int _{ 0 }^{ \infty }{ { f }_{ XU }(x,u)du } \\ & = & \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2n\pi } { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { u }^{ \frac { n }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot { e }^{ -\frac { u }{ 2 } (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }du } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2n\pi } { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { u }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }\cdot { e }^{ -\frac { u }{ 2 } (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }du } \end{eqnarray}\]となります.

さらに,\[r=\frac { u }{ 2 } (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1)\]とおくと,\[u=\frac { 2r }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1 } \]となることから,\[du=\frac { 2 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1 } dr\]よって,\[\begin{eqnarray} { t }_{ n }(x) & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2n\pi } { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { (\frac { 2r }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1 } ) }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }\cdot { e }^{ -r }\cdot \frac { 2 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1 } dr } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2n\pi } { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { (\frac { 2 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1 } ) }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }\cdot { e }^{ -r }\cdot \frac { 2 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1 } \cdot { r }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }dr } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { 2n\pi } { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { (\frac { 2 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1 } ) }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -r }\cdot { r }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }dr } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { \pi } { 2 }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { (\frac { 2 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1 } ) }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -r }\cdot { r }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }dr } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { \pi } { 2 }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot \frac { { 2 }^{ \frac { n+1 }{ 2 } } }{ { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ \frac { n+1 }{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -r }\cdot { r }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }dr } \end{eqnarray}\]ここで,\[\Gamma (\frac { n }{ 2 } )=\sqrt { \pi } \]であることより,\[\begin{eqnarray} { t }_{ n }(x) & = & \frac { 1 }{ \sqrt { n } { 2 }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }\sqrt { \pi } \Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot \frac { { 2 }^{ \frac { n+1 }{ 2 } } }{ { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ \frac { n+1 }{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -r }\cdot { r }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }dr } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { n } \Gamma (\frac { 1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot \frac { 1 }{ { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ \frac { n+1 }{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -r }\cdot { r }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }dr } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { n } \Gamma (\frac { 1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ -\frac { n+1 }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -r }\cdot { r }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }dr } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { n } \Gamma (\frac { 1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ -\frac { n+1 }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -r }\cdot { r }^{ \frac { n+1 }{ 2 } -1 }dr } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { n } \Gamma (\frac { 1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ -\frac { n+1 }{ 2 } }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { r }^{ \frac { n+1 }{ 2 } -1 }\cdot { e }^{ -r }dr } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { n } \Gamma (\frac { 1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ -\frac { n+1 }{ 2 } }\cdot \Gamma (\frac { n+1 }{ 2 } ) \\ & = & \frac { \Gamma (\frac { n+1 }{ 2 } ) }{ \sqrt { n } \Gamma (\frac { 1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ -\frac { n+1 }{ 2 } } \\ & = & \frac { \Gamma (\frac { n }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } ) }{ \sqrt { n } \Gamma (\frac { 1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { n }{ 2 } ) } \cdot { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ -\frac { n+1 }{ 2 } } \\ & = & \frac { 1 }{ \sqrt { n } B(\frac { n }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } ) } \cdot { (\frac { { x }^{ 2 } }{ n } +1) }^{ -\frac { n+1 }{ 2 } } \end{eqnarray}\]

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















濃度 正規分布 $e^{-x^{2}}$の無限積分 $C^{1}$級関数 ルベーグ・スティルチェス積分 特性関数