$\sigma$-集合族の性質

$\sigma$-集合族の具体例

$\Omega=\{1,2,3\}$としたとき，

$\mathcal{B}_{1}=\{\phi,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

$\mathcal{B}_{2}=\{\phi,\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$

という$\sigma$-集合体を考えることが出来る．

ところで，$\mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}$は$\sigma$-集合体とはならない.

何故なら，

$\{1\} \in \mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}$

$\{2\} \in \mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}$

$\{1,2\} \not\in \mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}$

となって$\sigma$-集合体の定義を満たさないからである．

標本空間 $\Omega$ 上の $\sigma$-集合族の性質

$\sigma$-集合族の性質の定理

$\mathscr{F}_{1}$ と $\mathscr{F}_{2}$ が標本空間 $\Omega$ 上の異なる2つの$\sigma$-集合族であるとき，以下の2つの性質が成り立ちます．
  1. $\mathscr{F}_{1} \cap \mathscr{F}_{2}$ は$\sigma$-集合族となります
  2. $\mathscr{F}_{1} \cup \mathscr{F}_{2}$ は$\sigma$-集合族とはなりません．

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二項分布とポアソン分布の関係 ボレル集合族 補演算 完全加法族 $\sigma$-集合体 確率空間