ボレル集合族

$E=d(E,d)$を距離空間,$\mathcal{O}$を$E$の開部分集合全体からなる集合族とする.
このとき,$\mathcal{O}$から生成される$E$上の$\sigma$-集合族 $\mathcal{B} \equiv \sigma[\mathcal{O}]$を$E$上のボレル集合体といい,$E$の部分集合で$\mathcal{B}(E)$に属するものを$E$のボレル集合という.

ボレルという名称はフランス人数学者であるエミール・ボレル[Felix Edouard Justin Emile Borel;1871/01/07-1956/02/03]に因みます.エミール・ボレルは測度論とゲーム理論に足跡を残しました.


Felix Edouard Justin Emile Borel

$\mathbb{R}$ 上のボレル集合

実数 $a,b,(a < b)$ を任意に選んで開区間 $(a,b)$ をつくり,このような開区間のすべてからなる集合族を $\mathcal{F}_{0}$ とします.

このとき,\[(a,b) \in \mathcal{F}_{0}\]となりますが,$(a,b)$ の補集合は,\[(a,b)^{c}=(-\infty,a] \cup [b,+\infty)\]となるので,開集合とはなりません.

従って,\[(a,b)^{c} \notin \mathcal{F}_{0}\] となり,$\mathcal{F}_{0}$ は$\sigma$-集合族 とはなりません.

そこで,$\mathcal{F}_{0}$ を含む最小の$\sigma$-集合族をつくるとき,その$\mathcal{F}_{0}$ を含む最小の$\sigma$-集合族を$\mathbb{R}$ 上のボレル[Borel]集合 $\mathcal{B}$ 族といいます.

標本空間 $\Omega$ が実数空間 $\mathbb{R}$ である場合に,よく使われる$\sigma$-集合族がボレル[Borel]集合 $\mathcal{B}$ 族です.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















濃度 補演算 完全加法族 $\sigma$-集合体 確率空間 部分積分