ボレル集合族

$E=d(E,d)$を距離空間，$\mathcal{O}$を$E$の開部分集合全体からなる集合族とする．
このとき，$\mathcal{O}$から生成される$E$上の$\sigma$-集合族 $\mathcal{B} \equiv \sigma[\mathcal{O}]$を$E$上のボレル集合体といい，$E$の部分集合で$\mathcal{B}(E)$に属するものを$E$のボレル集合という．

ボレルという名称はフランス人数学者であるエミール・ボレル[Felix Edouard Justin Emile Borel;1871/01/07-1956/02/03]に因みます．エミール・ボレルは測度論とゲーム理論に足跡を残しました．

Felix Edouard Justin Emile Borel

$\mathbb{R}$ 上のボレル集合

実数 $a,b,(a < b)$ を任意に選んで開区間 $(a,b)$ をつくり，このような開区間のすべてからなる集合族を $\mathcal{F}_{0}$ とします．

このとき，\[(a,b) \in \mathcal{F}_{0}\]となりますが，$(a,b)$ の補集合は，\[(a,b)^{c}=(-\infty,a] \cup [b,+\infty)\]となるので，開集合とはなりません．

従って，\[(a,b)^{c} \notin \mathcal{F}_{0}\] となり，$\mathcal{F}_{0}$ は$\sigma$-集合族 とはなりません．

そこで，$\mathcal{F}_{0}$ を含む最小の$\sigma$-集合族をつくるとき，その$\mathcal{F}_{0}$ を含む最小の$\sigma$-集合族を$\mathbb{R}$ 上のボレル[Borel]集合 $\mathcal{B}$ 族といいます．

標本空間 $\Omega$ が実数空間 $\mathbb{R}$ である場合に，よく使われる$\sigma$-集合族がボレル[Borel]集合 $\mathcal{B}$ 族です．

Mathematics is the language with which God has written the universe.