可換群

群$G$が以下の条件$(G4)$を満たすとき,$G$を可換群$(commutative group)$,あるいはアーベル群$(abelian group)$といいます．

$(G3)$ 交換法則
任意の$a,b \in G$に対し,$ab=ba$が成り立つこと．

1階論理による可換群の表現

$G$ を空ではない集合，$0 \in G$ であり，$+,-$ は $G$ 上の2項演算と1項演算とします．

このとき，群とは構造\[G=\langle G;+,-,0\rangle\]であって，次の1階論理で記述された公理を満たすものです．\[\ \forall x\forall y \forall z[x+(y+z)=(x+y)+z]\tag{1}\]\[\ \forall x[x+0=0]\tag{2}\]\[\ \forall x[x+(-x)=0 \land (-x)+x=0]\tag{3}\]\[\forall x\forall y[x+y=y+x]\tag{4}\]このとき，アーベル群 $G$ は $(1),(2),(3),(4)$ を満たすとか，$G$ は $(1),(2),(3),(4)$ のモデル（model）といい，\[G \models (1)\land(2)\land(3)\land(4)\]と表します．

なお，アーベル群という名前は，楕円関数とアーベル関数で知られるノルウェーの数学者ニールス・アーベル（Niels Henrik Abel，1802年8月5日-1829年4月6日）に因みます．

Mathematics is the language with which God has written the universe.