素朴集合論の公理

集合については部分集合 $\subseteq$，和集合 $\cup$，積集合 $\cap$などの関係がありますが，最も基本的な概念は $\in$ だと言われています．

このことは，例えば，\[x \subseteq y\]という関係は $\in$ を用いて，\[\forall z(z \in x \to z \in y)\]と表すことが出来ます．

この $\in$ の基本的な性質として，

1. 外延公理 axiom of extensionality:
   集合 $x,y$ について，$x=y$ ということと，全ての対象 $z$ について，$z \in x\Leftrightarrow z \in y$ であることとは同値であるということ．つまり，全く同じ要素を含んでいる集合は等しいということ．\[\forall x \forall y(x=y \leftrightarrow \forall z(z \in x \leftrightarrow z \in y))\]
2. 内包の公理 axiom of comprehension:
   対象 $x$ に関する性質を $\varphi(x)$ と表したとき，全ての $x$ について，$x \in s \leftrightarrow \varphi(x)$ となる集合 $s$ が存在するということ．つまり，どんな性質 $\varphi(x)$ についても，それに対応する集合 $s$ があるということ．\[\exists s \forall x(x \in s \leftrightarrow \varphi(x))\]内包の公理は包括原理（Comprehension rinciple）とも呼ばれます．

外包の公理と内包の公理には「集合」と「対象」という2つの語が出てきましたが，集合論では「全ての集合は対象である」と考えて，「集合」と「対象」を区別しません．

また，上記の外延の公理と内包の公理は，集合は「普通の意味での」ものの集まりであるという考え方に基づいたものであり，素朴集合論（naive set theory）と呼ばれます．

素朴集合論（naive set theory）の公理はとても分かりやすいのですが，いろいろなパラドクスが生じてしまうことが知られています．その中で有名なものにラッセルのパラドクス（Russell's paradox）があります．これは，$x$ は自分自身には含まれない，\[x \notin x\]について内包の公理を適用すると，\[\{x|x \notin x\}\]という集合が導き出されます．この集合は，自分自身を含まないものの集合です．さらに，内包の公理を適用すると，$x \notin x$ が $\varphi(x)$ となるので，\[\forall x(x \in s \leftrightarrow x \notin x)\]となります．ここで，$x=s$ とすると，\[s \in s \leftrightarrow s \notin s\]となり矛盾が生じます．

こうした矛盾を解消しようとしたのが公理的集合論の公理とよばれるものになります．

Mathematics is the language with which God has written the universe.