確率変数

ランダムな現象の結果の集合の標本空間$\Omega$と,$\Omega$の部分集合からなる$\sigma$-集合体$\mathscr{F}$があるとします.

このとき,この標本空間$\Omega$と$\sigma$-集合体$\mathscr{F}$の組$(\Omega,\mathscr{F})$を可測空間[measurable space]といいます.

ここに,$\mathscr{F}$の要素である各部分集合[事象]に割り当てられた確率$P$を考えるとき,これらの組$(\Omega,\mathscr{F},P)$を確率空間といいます.

ここで,確率変数を定義します.

【定義】確率変数

可測空間$(\Omega,\mathscr{F})$において,$\Omega$上の実数値関数$X$が,\[\{\omega|X(\omega) \leqq a\} \in \mathscr{F}\]とう関係を満たすとき,$X$を確率変数といいます.

この定義によって,確率変数の値が$a$以下となる事象がどんな$a$についても存在することになります.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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