確率と確率空間

確率の定義

標本空間 $\Omega$ と $\sigma$集合族 $\mathscr{F}$ が与えられたとき,$\mathscr{F}$ の任意の事象 $A$ に対して以下の三条件を満たす実数 $P(A)$ を事象 $A$ の確率といいます.
  1. $P(A) \geq 1 ,\forall A \in \mathscr{F}$
  2. $P(\Omega)=1$
  3. $A_{1},A_{2},A_{3},\cdots$ が互いに排反であるとき,$P(\cup^{\infty}_{n=1}A_{n})=\sum^{\infty}_{n=1}P(A_{n})$
なお,最後の条件は確率の連続性といいます.

1つの実験を同じ条件のもとで繰り返した際に,その結果が偶然に支配されるという場合において,そのような実験を試行という.その試行の結果となりうる個々のものは根元事象と言われる.この根元事象の全体の集合を標本空間といい, $\Omega$ と表す.標本空間 $\Omega$ の部分集合は事象と名付けられる.その事象のうち,上記の条件を満たすものが確率事象と言われる.

確率空間

標本空間 $\Omega$ と $\sigma$集合族 $\mathscr{F}$ と 確率 $P$ の組\[(\Omega,\mathscr{F},P)\]を確率空間という.

確率空間とは,全測度が 1 となる測度空間である.

【参照】測度[measure]

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















確率測度の拡張 コルモゴロフの第1公理 ド・モルガンの法則[De Morgan's law] コレクティフ σ集合族 コルモゴロフの公理