測度

測度[measure]とは面積,体積,個数といった大きさに関する概念を数学的に精緻化・一般化したものです.

測度

標本空間 $\Omega$ と標本空間 $\Omega$上の$\sigma$-集合体 $\mathcal{B}$を組にした$(\Omega,\mathcal{B})$ という可測空間に対して,$\mathcal{B}$上に定義された関数 $\mathbf{m}$ が$+\infty$ の値もとることを許したときに,以下の条件を満たすものを測度[measure]といいます.
  1. 任意の $A \in \mathcal{B}$ に対して $0 \leq \mathbf{m} \leq +\infty$
  2. $\mathbf{m}(\emptyset)=0$
  3. $A_{k} \in \mathcal{B},A_{k} \cap A_{l} = \emptyset(k \neq l)$,$k,l \in \mathbb{N}$であれば,\[\mathbb{m}(\cup^{\infty}_{k=1}A_{k})=\sum^{\infty}_{k=1}\mathbb{m}(A_{k})\]

同じことですが,

[別の定義]測度

$\bar{\mathbb{R}}:=\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ とするとき,$\mathbb{R}^{d}$ の部分集合の族 $\mathcal{B}$ と関数 $\mu:\mathcal{B} \to \bar{\mathbb{R}}$ について次の条件が成立するとき,$(\mathcal{B},\mu)$ は,$\mathbb{R}^{d}$上の測度[measure]といいます.
  • $\mathcal{B}$ は $\mathbb{R}^{d}$の$\sigma$-加法族であること
  • $\mu(A) \geq 0,\forall A \in \mathcal{B}$ かつ $\mu(\emptyset)=0$
  • $A_{n} \in \mathcal{B},\forall n \in \mathbb{N},A_{n} \cap A_{m} = \emptyset,n \neq m \Rightarrow \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n})$

確率測度は,$\mathbb{m}(\Omega)=1$ となる有限測度ということになります.


【参照】リーマン和

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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