数列と極限の定義

数列

自然数$\mathcal{N}$ から 実数$\mathbb{R}$ への関数,つまり,\[a:\mathbb{N} \ni n \mapsto a(n) \in \mathbb{R}\]のことを数列といいます.
$n$ における値 $a(n)$ を $a_{n}$ と書いて,数列を $a={a_{n}}$ と表すことがあります.

数列の収束

数列 ${a_{n}}$ が $\alpha \in \mathbb{R}$ に収束するとは,\[\forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N}, n \geq N \to |a_{n} - \alpha| < \epsilon\]が成り立つことと定義されます.

数列 ${a_{n}}$ が $\alpha \in \mathbb{R}$ に収束するということを,\[lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha,a_{n} \to \alpha(n \to \infty)\]と表したりします.

数列が有界であっても,その数列が極限をもつとは限りません.ところが,数列が有界であれば,上限と下限は存在します.

上限[supremum]

数列 ${a_{n}}$ が上に有界のとき, ${a_{n}}$ の上界のうち最小のものを上限[supremum]といい,\[sup \{a_{n}}\\]と表します.

下限[infimum]

数列 ${a_{n}}$ が下に有界のとき, ${a_{n}}$ の下界のうち最大のものを下限[infimn]といい,\[inf \{a_{n}}\\]と表します.

Mathematics is the language with which God has written the universe.





















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