C*環

C*-環[C*-algebra]

集合 $A$ が以下の条件を満たすとき $C*-$環と言います.
  1. $A$ は複素数体 $\mathbb{C}$ 上の体上の多元環
  2. 対合 $*:a \mapsto a^{*}$ があって、
    1. $(\lambda a + \mu b)=\lambda a^{*} + \mu b^{*}$
    2. $(ab)^{*}=b^{*}a^{*}$
    3. $(a^{*})^{*}=a$
    が任意の$a,b \in A,\lambda,\mu \in \mathbb{C}$について成り立つ.
  3. $A$にノルムが存在し、任意の$a,b \in A$について、$\|ab\| \leq \|a\| \|b\|$が成り立ち、$A$はこのノルムに関して完備.
  4. 任意の $a \in A$ に関してノルムの$C^{*}-$性[$C^{*}-$property of the norm]が成り立つ.$\|aa^{*}\|=\|a\|^{2}$

上の条件のうち、1、2を満たすものを$*-$環、条件1、3を満たすものをバナッハ環、条件1、2、3を満たすものをバナッハ$*-$環[$B^{*}-$環]と言います.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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