Theorem:
但し,実数 $a > 0$ とする.
この積分は,指数関数の急激な減衰により収束し,その評価は解析学や確率論において基本かつ重要な結果である.
積分の被積分関数 \[e^{-a(x^2+y^2)}\]は円対称[回転対称]である.この回転対称性を利用するのに極座標が自然であり,その結果,角度方向の積分で円の全周角 \[2\pi\]が出てくる.従って,極座標を使えば回転対称性$\Rightarrow$ 円周 $\Rightarrow\;\; \pi$という流れで必然的に $\pi$ が現れる.
例えば,$e^{-a(x+y)}$の場合,\[x + y = r \cos \theta + r \sin \theta = r(\cos \theta + \sin \theta)\]この場合,指数部分に $\theta$ が残るため,角度によって関数の値が変わる.
$e^{-ax^2}$の場合,\[x^2 = (r \cos \theta)^2 = r^2 \cos^2 \theta\]$\cos^2 \theta$ が残るため, $\theta$ に依存する.
$e^{-a(2x^2+3y^2)}$の場合, \[2x^2 + 3y^2 = 2r^2 \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^2 \theta = r^2(2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta)\]やはり $\theta$ に依存する項が残る.
なぜ$x^2+y^2$だけ特別なのかというと,\[\begin{align}x^2 + y^2 &= (r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 \\&= r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \\&= r^2 \times 1 \\&= r^2\end{align}\]三角関数の基本的な恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ により,$\theta$ の項が完全に消えるのである.
つまり, $x^2+y^2$ の組み合わせだけが,極座標変換で $\theta$ に依存しない形[純粋に$r$のみの関数]になる.これが円対称性を持つ理由である.
$a > 0$ に対して,積分 $I(a)$ を評価する.
まず,積分の2乗を考える.\[I(a)^2 = \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-a x^2} \, dx \right) \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-a y^2} \, dy \right) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-a(x^2 + y^2)} \, dx \, dy\]
ここで,2変数 $x,y$ に関する二重積分となる.
次に,平面上の極座標を導入する.\[x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta\]
ヤコビアンは,\[dx \, dy = r \, dr \, d\theta\]
積分範囲は,\[r \in [0, \infty), \quad \theta \in [0, 2\pi)\]
であるから,\[I(a)^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-a r^2} r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\infty r e^{-a r^2} \, dr\]
続いて,半径方向の積分\[\int_0^\infty r e^{-a r^2} \, dr\]を計算する.
次の置換を行う.\[u = a r^2 \Rightarrow du = 2a r \, dr \Rightarrow r \, dr = \frac{du}{2a}\]
よって,\[\int_0^\infty r e^{-a r^2} \, dr = \int_0^\infty e^{-u} \frac{du}{2a} = \frac{1}{2a} \int_0^\infty e^{-u} \, du = \frac{1}{2a}\]
角度方向の積分を行うと,\[\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi\]
これらを合わせると,\[I(a)^2 = 2\pi \times \frac{1}{2a} = \frac{\pi}{a}\]
従って,\[I(a) = \int_{-\infty}^\infty e^{-a x^2} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\]
ここで,特殊なケースとして,$a = \frac{1}{2}$ とすると,\[\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx = \sqrt{2\pi}\]
となり,これは正規分布の確率密度関数の積分の正規化定数にもなる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.