Definition:
ここで,可測関数とは,任意のボレル集合 $B \subseteq \mathbb{R}$ に対して,\[X^{-1}(B) \in \mathcal{F}\]となる関数を指す.
確率変数は「不確定な現象の結果を数値化」するための道具であり,確率測度が与えられた確率空間上で定義される.その値は確率的に変動しうる.
つまり,確率測度は「どの事象がどれだけの確率で起こるか」を定める規則である.一方,確率変数は「試行の結果を数値に写像する関数」である.
確率変数を通じて,元の確率測度 $\mathbb{P}$ はその像空間にプッシュフォワード測度[分布]として移される.
期待値や分散などの統計量は確率変数の値と確率測度の組み合わせで定義される.
Mathematics is the language with which God has written the universe.