テンソル

実ベクトル空間 $V$ 上の $(r,s)$ 型テンソル $T$ とは, $r$ 個の双対空間 $V^*$ の元と $s$ 個のベクトル空間 $V$ の元を入力としてスカラーに対応させる, 多重線形写像である：\[T : (V^*)^r \times V^s \to \mathbb{R}.\]

ここで, 多重線形性とは, 任意の入力変数において線形結合を取ると, テンソルの出力も線形結合に従うことを意味する.

さらに, 基底 $\{e_i\}$ を $V$ に, 対応する双対基底 $\{e^i\}$ を $V^*$ に固定すると, テンソル $T$ は成分 $T^{i_1\cdots i_r}_{j_1 \cdots j_s}$ によって完全に表現でき, これはプログラミング言語における配列[NumPy や PyTorch のテンソルなど]として具体的に扱うことができる.