ウォリスの公式

【公式】ウォリスの公式[Wallis' formula]

ウォリス積[Wallis' product]\[\Pi(\frac{2n}{2n-1}\frac{2n}{2n+1})=\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\cdot\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5}\cdot\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\cdot\frac{8 \cdot 8}{7 \cdot 9}\cdots \]の値が \[\frac{\pi}{2}\] に等しい.

ウォリスの積分における漸化式より,\[I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]を変形すると,\[n \cdot I_{n}=(n-1) \cdot I_{n-2}\]となります.

この両辺に $I_{m-1}$ をそれぞれ乗じると,\[n \cdot I_{n}I_{n-1}=(n-1) \cdot I_{n-1}I_{n-2}\]が成り立ちます.この操作を繰り返していくと,\[(n-1) \cdot I_{n-1}I_{n-2}=I_{1}I_{0}\]となります.ここで,ウォリスの積分の結果より,$I_{1}=1,I_{0}=\frac{\pi}{2}$ であることより,\[(n-1) \cdot I_{n-1}I_{n-2}=I_{1}I_{0}=\frac{\pi}{2}\]となります.

従って,\[I_{n-1}I_{n-2}=\frac{\pi}{2(n-1)}\]となります.

ここで,\[0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\]においては,\[\sin^{n}\theta \leq \sin^{n-1}\theta \leq \sin^{n-2}\theta\]であることより,\[I_{n} \leq I_{n-1} \leq I_{n-2}\]\[I_{n}I_{n-1} \leq I_{n-1}^{2} \leq I_{n-1}I_{n-2}\]となります.

ここで,それぞれに,$(n-1)$ を乗じると,\[I_{n-1}I_{n-2} \cdot (n-1)=\frac{\pi}{2}\]となり,\[I_{n} I_{n-1} \cdot (n-1)\]という式は,,\[n \cdot I_{n}I_{n-1}=(n-1) \cdot I_{n-1}I_{n-2}\]より,,\[\frac{n}{n-1} \cdot I_{n}I_{n-1}=I_{n-1}I_{n-2}\]であることから,\[n \cdot I_{n}I_{n-1}=I_{n-1}I_{n-2}\]となります.ここで,\[I_{n-1}I_{n-2}=\frac{\pi}{2(n-1)}\]であることから,結局,\[n \cdot I_{n}I_{n-1}=n \cdot \frac{\pi}{2(n-1)}=\frac{n}{n-1}\cdot\frac{\pi}{2}\]となります.

つまり,\[\frac{n}{n-1}\cdot\frac{\pi}{2} \leq mI_{n-1}^{2} \leq \frac{\pi}{2}\]となるので,挟み撃ちの原理[squeeze theorem]より,\[lim_{(n-1)\to \infty} \sqrt{n-1}I_{m}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\]となります.


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ベルヌーイ分布から正規分布の導出 - ウォリスの公式 - ウォリスの積分 - 勾配ベクトル - 偏微分