ウォリスの積分

【定義】ウォリスの積分[Wallis' integral]

$n$ が偶数のとき,\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2}\]$n$ が奇数のとき,\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!}\]

但し,ここで,\[n!!=\begin{cases}n(n-2)(n-4) \cdots 4 \dots 2 (nが偶数)\\n(n-2)(n-4) \cdots 3 \dots 1 (nが奇数)\end{cases}\]です.

\[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx\]と置きます.\[\sin^{n} x=\sin^{n-1}\sin x\]と分けて部分積分します.\[\begin{eqnarray}I_{n}&=&-[\sin^{n-1}x \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2}x \cos^{2}xdx\\&=&(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x(1-\sin^{2}x)dx\\&=&(n-1)(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}xdx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx)\\&=&(n-1)(I_{n-2}-I_{n}) \end{eqnarray} \]以上より,\[I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]この漸化式から,$n$ が偶数の場合は,\[I_{n}=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}=\cdots=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\frac{1}{2}I_{0}\]となります.

ここで,$I_{0}$ は,\[I_{0}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2}\]であることから,\[I_{n}=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}\]となります.

一方,$n$ が奇数の場合は,\[I_{n}=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}=\cdots=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{4}{5}\frac{2}{3}I_{1}\]となり,$I_{1}$ は,\[I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin dx=-[\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1\]であることから,\[I_{n}=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{4}{5}\frac{2}{3}\]となります.

ウォリス積分はイングランド議会に暗号研究者として雇用されたことでも知られるジョン・ウォリス[John Wallis,1616年11月23日-1703年10月28日]によって導入された積分.ウォリス積分からウォリスの公式が導かれ,ウォリスの公式からスターリングの公式が導かれます.そして,スターリングの公式は $n!$ の近似式として用いられます.

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