σ集合族

集合族[family of sets]

元がすべて集合であるような集合を集合族[family of sets]といいます.

$A,B,C$ が集合であるとするとき,\[\{A,B,C\}\]は集合族となります.

集合族に関連して,集合族の直積集合系といった概念もあります.

部分集合族

集合 $A$ の部分集合のみを考えるとき,部分集合の集まり $B$ は $A$ の部分集合族といいます.

$\sigma$ 集合族[$\sigma$-field]

標本空間 $\Omega$ の部分集合族 $\mathscr{F}$ のうち,以下の条件を満たすものを $\sigma$ 集合族といいます.
  1. $\Omega \in \mathscr{F}$
  2. $A \in \mathscr{F}$ ならば $A^{c} \in \mathscr{F}$
  3. $A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \in \mathscr{F}$ ならば $\cup^{\infty}_{n=1}A_{n} \in \mathscr{F}$

標本空間 $\Omega$ の $\sigma$-集合族の中で最小のものは,\[\mathscr{F}=\{\Omega,\emptyset\}\]となります.

$\sigma$ 集合族[$\sigma$-field]は,$\sigma$ 集合体,$\sigma$ 代数,完全加法族などとも呼ばれます.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















濃度 コルモゴロフの公理 場合の数と集合 事象と確率 マネーの発明 複利計算