σ集合族

集合族[family of sets]

元がすべて集合であるような集合を集合族[family of sets]といいます.

$A,B,C$ が集合であるとするとき,\[\{A,B,C\}\]は集合族となります.

集合族に関連して,集合族の直積集合系といった概念もあります.

部分集合族

集合 $A$ の部分集合のみを考えるとき,部分集合の集まり $B$ は $A$ の部分集合族といいます.

$\sigma$ 集合族[$\sigma$-field]

標本空間 $\Omega$ の部分集合族 $\mathscr{F}$ のうち,以下の条件を満たすものを $\sigma$ 集合族といいます.
  1. $\Omega \in \mathscr{F}$
  2. $A \in \mathscr{F}$ ならば $A^{c} \in \mathscr{F}$
  3. $A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \in \mathscr{F}$ ならば $\cup^{\infty}_{n=1}A_{n} \in \mathscr{F}$

標本空間 $\Omega$ の $\sigma$-集合族の中で最小のものは,\[\mathscr{F}=\{\Omega,\emptyset\}\]となります.

$\sigma-$ 集合族[$\sigma$-field]は,$\sigma$ 集合体,$\sigma$ 代数,完全加法族などとも呼ばれる.

$\sigma-$集合族は可算個の和集合の操作に関して閉じている.このように和集合の操作に関して閉じていることから,積集合 $\cap$ や差集合 $\setminus$ の操作に関しても閉じている.

つまり,$\sigma-$集合族において,任意の元に和集合,積集合,差集合の操作を行った結果も,また,$\sigma-$集合族になる.

このように,$\sigma-$集合族は通常必要な,たかだか可算個についての演算をすべて許しているということになる.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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