理論(Theory)

論理式の集合を $Fml$ とします.

この $Fml$ の部分集合を理論(Theory),あるいは,公理系(axiomatic system)といい,その要素を非論理的公理(nonlogical axiom)といいます.

理論(Theory),あるいは,公理系(axiomatic system)が整合性を保つためには次の3点の成り立つことが必要です.

  1. 無矛盾性(consistency,noncontradiction):
    $\varphi(x) \land \lnot \varphi(x)$ となるような論理式 $\varphi(x)$ が存在しないこと.
  2. 独立性(independence):
    任意の公理 $\varphi(x)$ が,その公理が属する理論(公理系)の他の公理から導かれないこと.
  3. 完全性(complete,categorical):
    任意の論理式 $\varphi(x)$ に関して,それがトートロジー(tautology)であるならば,理論(公理系)のなかで証明可能であるということ.

トートロジー(tautology):命題変数の真理値に関わらず常に真となる論理式(恒真式)のこと.

論理式 $\varphi(P_{1},P_{2},\ldots,P_{n})$ がトートロジーであることは,\[\models \varphi(P_{1},P_{2},\ldots,P_{n})\]と表されます.


参考:真偽値

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















確率測度の拡張 素朴集合論の公理 公理的集合論の公理 合成 論理式 対偶,裏,逆