確率が持つ性質
確率の性質
$(\Omega,\mathscr{F},P)$ 上の確率 $P$ は以下の性質を満たします．
- $A$の余事象である$A^{C}$に対して，\[P(A^{C})=1-P(A)\]
- 空事象$\emptyset$に対して，\[P(\emptyset)=0\]
- 単調性\[A \subset B \to P(A) \leq P(B)\]
- 任意の$A,B$に対して，\[P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\]
- 任意の$A_{1},A_{2},A_{3},\cdots,A_{n}$に対して，\[\begin{eqnarray} P(\cup_{i=1}^{n}A_{i}) &=& \sum_{i=1}^{n}P(A_{i})-\sum_{i \verb|<| j}(A_{i} \cap A_{j})\\ &&+\sum_{i \verb|<| j \verb|<| k}P(A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k})+(-1)^{n+1}P(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n})\end{eqnarray}\]
ちなみに，高校数学までは事象 $A$ の余事象は $\bar{A}$ と表していましたが，大学数学においては $\bar{A}$ は$A$ の閉包を表します．
Mathematics is the language with which God has written the universe.
