ウォリスの公式

ウォリスの積分における漸化式より，\[I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]を変形すると，\[n \cdot I_{n}=(n-1) \cdot I_{n-2}\]となります．

この両辺に $I_{m-1}$ をそれぞれ乗じると，\[n \cdot I_{n}I_{n-1}=(n-1) \cdot I_{n-1}I_{n-2}\]が成り立ちます．この操作を繰り返していくと，\[(n-1) \cdot I_{n-1}I_{n-2}=I_{1}I_{0}\]となります．ここで，ウォリスの積分の結果より，$I_{1}=1,I_{0}=\frac{\pi}{2}$ であることより，\[(n-1) \cdot I_{n-1}I_{n-2}=I_{1}I_{0}=\frac{\pi}{2}\]となります．

従って，\[I_{n-1}I_{n-2}=\frac{\pi}{2(n-1)}\]となります．

ここで，\[0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\]においては，\[\sin^{n}\theta \leq \sin^{n-1}\theta \leq \sin^{n-2}\theta\]であることより，\[I_{n} \leq I_{n-1} \leq I_{n-2}\]\[I_{n}I_{n-1} \leq I_{n-1}^{2} \leq I_{n-1}I_{n-2}\]となります．

ここで，それぞれに，$(n-1)$ を乗じると，\[I_{n-1}I_{n-2} \cdot (n-1)=\frac{\pi}{2}\]となり，\[I_{n} I_{n-1} \cdot (n-1)\]という式は，，\[n \cdot I_{n}I_{n-1}=(n-1) \cdot I_{n-1}I_{n-2}\]より，，\[\frac{n}{n-1} \cdot I_{n}I_{n-1}=I_{n-1}I_{n-2}\]であることから，\[n \cdot I_{n}I_{n-1}=I_{n-1}I_{n-2}\]となります．ここで，\[I_{n-1}I_{n-2}=\frac{\pi}{2(n-1)}\]であることから，結局，\[n \cdot I_{n}I_{n-1}=n \cdot \frac{\pi}{2(n-1)}=\frac{n}{n-1}\cdot\frac{\pi}{2}\]となります．

つまり，\[\frac{n}{n-1}\cdot\frac{\pi}{2} \leq mI_{n-1}^{2} \leq \frac{\pi}{2}\]となるので，挟み撃ちの原理[squeeze theorem]より，\[lim_{(n-1)\to \infty} \sqrt{n-1}I_{m}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\]となります．

Mathematics is the language with which God has written the universe.