期待値

【定義】期待値[expected value]

$g(X)$ を確率変数,$g(X)$ の分布関数を \[F_{X}(x) \equiv P(X \leqq x)\]とします.このとき,確率変数 $g(X)$ の期待値 $E\{g(X)\}$ は,\[E\{g(X)\} \equiv \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF_{X}(x) = \begin{cases} \sum_{i=1}^{\infty}g(x_{i})f_{X}(x_{i})&(離散型)\\ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f_{X}(x)dx & (連続型)\end{cases}\]と定義されます.
但し,$f_{X}(\cdot)$ は離散型の場合は確率関数を,連続型の場合は密度関数を表すとします.

期待値の定義に用いられる\[\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF_{X}(x)\]はリーマン=スティルチェス積分[Riemann=Stieltjes integral]といいます.

Mathematics is the language with which God has written the universe.





















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