Definition:
確率変数 $X$ が連続的な値を取る場合,その確率分布は一般に確率密度関数 $f_X:\mathbb{R} \to [0,\infty)$ によって表される.
確率密度関数 $f_X$ は次の性質を満たす.\[\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, \mathrm{d}x, \quad \forall a,b \in \mathbb{R}, \quad a \le b,\]および,\[\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, \mathrm{d}x = 1\]
確率密度関数は値が直接確率を示すわけではないが,区間ごとの確率を積分によって与える役割を持つ.すなわち,ある区間に $X$ が入る確率は,その区間における密度関数の面積で表される.したがって,確率密度関数の値は必ずしも $0$ から $1$ の範囲に限定されない.
連続型確率変数の場合,個々の点における確率は常に $0$ であるため,点の確率は確率密度関数の値とは異なる概念である.例えば,$\mathbb{P}(X = x) = 0$ がすべての $x$ について成立する.
確率密度関数は確率分布を完全に特徴づけ,期待値や分散などの統計量もこの関数を用いた積分計算によって求められる.実務的な応用としては,正規分布や指数分布などの連続確率分布の表現に用いられる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.