Definition:
離散型確率変数 $X$ が取り得る値の集合を $\mathcal{X}$ とすると,確率質量関数 $p_X:\mathcal{X} \to [0,1]$ は次の条件を満たす関数である.\[p_X(x) = \mathbb{P}(X = x), \quad \forall x \in \mathcal{X}\]また,\[\sum_{x \in \mathcal{X}} p_X(x) = 1\]が成立する.
確率質量関数は,離散的な結果のそれぞれに対して確率を割り当てる役割を持つ.すなわち,確率変数 $X$ が特定の値 $x$ を取る確率が $p_X(x)$ であることを意味している.離散型確率変数において,全ての取り得る値に対する確率の総和は 1 でなければならないため,この条件が課されている.
確率質量関数は,離散確率分布の基礎的な表現であり,例えばコインの表裏の出る確率やサイコロの各目が出る確率を表す際に用いられる.実際の計算においては,期待値や分散の算出など,確率変数の性質を解析するための重要な手掛かりとなる.
離散型確率変数の確率分布を完全に特徴付ける関数であるため,確率質量関数は確率論や統計学の多くの場面で基盤的な役割を果たす.
Mathematics is the language with which God has written the universe.