Definition:convergence in probability
確率変数列 $(X_n)_{n=1}^\infty$ が確率変数 $X$ に概収束するとは,任意の $\varepsilon > 0$ に対して次が成り立つことである.\[\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0.\]このとき,\[X_n \xrightarrow{p} X\]と表す.
概収束とは,確率変数列が確率的にある値に近づくことを意味する収束概念である.ほとんど確実収束が「ほとんどすべての事象で収束する」ことを意味するのに対し,概収束は「収束しない事象の確率が限りなくゼロに近づく」ことを意味し,より弱い条件である.
具体的には,確率変数列 $(X_n)$ の値が目標の確率変数 $X$ に近くなる確率が次第に大きくなることを示す.このため,実際のデータや推定量が目標値に「だいたい近づく」ことを示す場合に用いられる.
概収束は統計学において,大数の法則や漸近理論の基礎となる重要な概念である.また,ほとんど確実収束や $L^p$ 収束に比べて扱いやすい場合も多い.
一方で,概収束はサンプルパスごとの収束を保証しないため,確率変数の振る舞いの詳細な理解には,ほとんど確実収束など他の収束概念と併用されることが多い.
Mathematics is the language with which God has written the universe.