環$(ring)$

$R$を空ではない集合とする.$R$に2つの2項演算,和$(addition)$「+」と積$(multiplication)$「・」が与えられた場合,以下の条件を満たすならば$R$を環$(ring)$という.

$(R1)$ 和について可換群である.

$(R2)$ 積について結合法則を満たす.

$(R3)$ 分配法則を満たす.

つまり,2項演算が1つ与えられた代数系であり,2項演算を2つ与えられた代数系が環である.

環は「サークル」が語源だとされています.

環がサークルの意味から来ているとすると,集合(set),集合の包含関係を抽象化した束(lattice),足し算や掛け算を抽象化した代数構造である群(group),群の2つの演算に加えて演算の関係も加味した環(ring),環の特殊なケースである体(field;body),と概念関係がスッキリします.

1階論理による環の表現

環とは構造\[R=\langle R;+,\cdot,0,1\rangle\]であって,次の1階論理で記述された公理を満たすものです.\[\ \forall x\forall y \forall z[x+(y+z)=(x+y)+z]\tag{1}\]\[\ \forall x[x+0=0]\tag{2}\]\[\ \forall x[x+(-x)=0 \land (-x)+x=0]\tag{3}\]\[\forall x\forall y[x+y=y+x]\tag{4}\]\[\forall x\forall y[x \cdot y=y \cdot x]\tag{5}\]\[\forall x\forall y\forall z[(x \cdot y)\cdot y=x \cdot(y \cdot z)]\tag{6}\]\[\forall x\forall y\forall z[x\cdot(y+z)=(x \cdot y)+(x \cdot y)]\tag{7}\]\[\forall x[x \cdot 1=x]\tag{8}\]\[0 \neq 1\tag{9}\]このとき,環 $R$ は $(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9)$ を満たすとか,環 $R$ は $(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9)$ のモデル(model)といい,\[R \models (1)\land(2)\land(3)\land(4)\land(5)\land(6)\land(7)\land(8)\land(9)\]と表します.

2項演算(binary operation)

2個の元に対して1つの元を求める操作のこと.和や積が2項演算の例になります.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















確率測度の拡張 可換群 群$(group)$ $\sigma$-集合族の性質 ボレル集合族 補演算