体$(field)$

集合 $K$ に演算 $+$ と $\times$ が定義され,

• $(K;+)$ は可換群
• 加法単位元を $o$ として,$K^{*}=K-\bigl\{o\}$ について,$(F^{*};\times)$ は群
• 分配律
  • $(a+b) \times c=a \times c + b \times c$
  • $a \times (b+c)=a \times b+a \times c$

が成立するとき,$(F;+,\times)$を体といいます.

$K$を単位元を持つ環とする．$0$以外の全ての元が単元であるとき,$K$を斜体$(skew\ field)$と呼びます．このとき,可換な斜体が体$(field)$と呼ばれる,という言い方も出来ます．

ちなみに,
体 $\subset$ 環 $\subset$ 群 $\subset$ モノイド $\subset$ 半群 $\subset$ 代数系
という関係になります.

1階論理による体の表現

体とは，次の1階論理で記述された環の公理，\[\ \forall x\forall y \forall z[x+(y+z)=(x+y)+z]\tag{1}\]\[\ \forall x[x+0=0]\tag{2}\]\[\ \forall x[x+(-x)=0 \land (-x)+x=0]\tag{3}\]\[\forall x\forall y[x+y=y+x]\tag{4}\]\[\forall x\forall y[x \cdot y=y \cdot x]\tag{5}\]\[\forall x\forall y\forall z[(x \cdot y)\cdot y=x \cdot(y \cdot z)]\tag{6}\]\[\forall x\forall y\forall z[x\cdot(y+z)=(x \cdot y)+(x \cdot y)]\tag{7}\]\[\forall x[x \cdot 1=x]\tag{8}\]\[0 \neq 1\tag{9}\]に加えて次の公理を満たすものです．\[\forall x \exists y[x \neq 0 \to x \cdot y=1]\tag{10}\]

このとき，体 $F$ は $(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9)$ を満たすとか，体 $F$ は $(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10)$ のモデル（model）といい，\[F \models (1)\land(2)\land(3)\land(4)\land(5)\land(6)\land(7)\land(8)\land(9)\land(10)\]と表します．

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有理数体（field of rational numbers）：有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ は和と積によって体となり，有理数体と呼ばれます．

実数体（field of real numbers）：実数全体の集合 $\mathbb{R}$ も和と積によって体となり，実数体と呼ばれます．

複素数体（field of complex numbers）：複素数全体の集合 $\mathbb{C}$ も和と積によって体となり，複素数体と呼ばれます．

整数環（the ring of integers）：整数全体の集合は和と積によっては逆元が存在しないため体とはなりません．整数の全体の集合は環となり，整数環と呼ばれます．

Mathematics is the language with which God has written the universe.