ド・モルガンの法則[De Morgan's law]

ド・モルガンの法則[De Morgan's law]というのは,論理積[集合の積,共通部分],論理和[集合の和,合併]の否定[補集合]に関する関係を示す定理のことです.

数学者オーガスタス・ド・モルガン[Augustus de Morgan;1806/06/27-1871/03/18]が発見しました.

ド・モルガンの法則[De Morgan's law]

\[\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\]\[\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\]同じことを,論理積 $\land$,論理和 $\lor$,否定 $\lnot$ を用いて,\[\lnot(A \lor B) = \lnot A \land \lnot B\]\[\lnot (A \land B)=\lnot A \land \lor B\]と表すこともできます.

ド・モルガンの法則は,\[(A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c} \]\[(A \cup B)^{c}=A^{c} \cap B^{c} \]とも表されます.

このド・モルガンの法則によって,「$A$ または $B$ 」でない,ということは,「$A$ でない」かつ「$B$ でない」ということ意味することになります.

また,「$A$ かつ $B$」でないということは「$A$ でない」または「$B$ でない」ということと同じになります.

以上では,2つの集合 $A,B$ についてだけ和集合 $\cup$ と積集合 $\cap$ を考えました.

しかし,ド・モルガンの法則は有限個もしくは無限個に関しても一般化することが可能です.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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