コルモゴロフの第1公理

コルモゴロフの第1公理[Kolmogorov axiom]

第1公理:$A,B,C$ が確率事象であるならば,
  • $A \cup B \cup C \cdots$
  • $A \cap B \cap C \cdots$
  • $\overline{A},\overline{B},\overline{C},\cdots$
も確率事象である.

標本空間 $\Omega$ の部分集合族 $\mathscr{F}$ のうち,以下の条件を満たすものを $\sigma$ 集合族といいます.

  1. $\Sigma \in \mathscr{F}$
  2. $A \in \mathscr{F}$ ならば $A^{c} \in \mathscr{F}$
  3. $A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \in \mathscr{F}$ ならば $\cup^{\infty}_{n=1}A_{n} \in \mathscr{F}$

ここで,1.と2.より,\[\Omega \in \mathscr{F}\]であるから,\[\Omega^{c}=\emptyset \in \mathscr{F}\]となります.

また,\[A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \in \mathscr{F}\]であるならば,2.から,\[A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},\cdots \in \mathscr{F}\]となります.

この結果に 3. を適用すると,\[\cup^{\infty}_{n=1}A_{n}^{c} \in \mathscr{F}\]となります.

ここで, 2. とド・モルガンの法則を使うと,\[(\cup^{\infty}_{n=1}A_{n}^{c})^{c}=\cap^{\infty}_{n=1}(A_{n}^{c})^{c}=\cap^{\infty}_{n=1}A_{n} \in \mathscr{F}\]となります.

以上の内容はコルモゴロフの第1公理そのものになります.

実は,コルモゴロフの第1公理は,$A,B,C$という事象が$\sigma$集合族$\mathscr{F}$に含まれている事象であることを意味しているのです.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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