距離関数

距離関数[metric space]

集合 $X$ 上で定義された2変数の実数値関数\[d:X \times X \to \mathbb{R}\]つまり,$d(\cdot , \cdot)$ が以下の4条件を満たすとき,これを距離関数[metric space]といいます.
  • 非負性:$\forall x,y, d(x,y) \geq 0$
  • 非退化性:$d(x,y)=0 \iff x=y$
  • 対称性:$\forall x,y, d(x,y)=d(y,x)$
  • 三角不等式:$\forall x,y,z, d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$

擬距離空間

集合 $X$ 上で定義された2変数の実数値関数\[d:X \times X \to \mathbb{R}\]つまり,$d(\cdot , \cdot)$ が以下の4条件を満たすとき,これを距離関数[metric space]といいます.
  • 非負性:$\forall x,y, d(x,y) \geq 0$
  • 対称性:$\forall x,y, d(x,y)=d(y,x)$
  • 三角不等式:$\forall x,y,z, d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$

非負性,非退化性,対称性,三角不等式を距離の公理といいます.この距離の公理を満たす2変数実数値関数が距離関数です.

距離の公理のうち,非負性,対称性,三角不等式の3つの条件を満たす2変数実数値関数が擬距離関数となります.

また,距離の公理の三角不等式の代わりに,\[max (d(x,y),d(x,y)) \leq d(x,z)\]を満たすとき,距離関数非アルキメデス的[non-Archimedean]もしくは超距離[ultrametric]と言われます.

超距離[ultrametric]

集合 $X$ 上で定義された2変数の実数値関数\[d:X \times X \to \mathbb{R}\]つまり,$d(\cdot , \cdot)$ が以下の4条件を満たすとき,これを距離関数[metric space]といいます.
  • 非負性:$\forall x,y, d(x,y) \geq 0$
  • 対称性:$\forall x,y, d(x,y)=d(y,x)$
  • 超距離不等式:$max (d(x,y),d(x,y)) \leq d(x,z)$

凝集型階層的クラスタリングにおけるクラスタ併合の際のクラスタ間非類似度は超距離[ultrametric]になっています.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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