ユークリッド空間 Euclidean space
内積が定義されている $n$ 次元
ベクトル空間のことをユークリッド空間[Euclidean space]といいます．
n次元ユークリッド空間[Euclidean space]
$n$次元ユークリッド空間とは，集合\[\mathbb{R}:=\{ x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n});x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n} \in \mathbb{R}\}\]であって，かつ，内積を持ち，以下の性質を持つベクトル空間を持つものと定義されます．\[x=(x_{1},\cdots,x_{n}),y=(y_{1},\cdots,y_{n}) \in \mathbb{R}^{n},\alpha \in \mathbb{R}\]
- 相当性：\[x=y \Longleftrightarrow x_{i}=y_{i}(i=1,\cdots,n)\]
- 加法：\[x+y=(x_{1}+y_{1},\cdots,x_{n}+y_{n}) \in \mathbb{R}^{n}\]
- スカラー乗法：\[\alpha x=(\alpha x_{1},\cdots,\alpha x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}\]
- 内積：\[(x,y):=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\]
1次元の場合は実数直線，2次元の場合はデカルト平面がユークリッド空間[Euclidean space]となります．また，ユークリッド空間[Euclidean space]は原点の位置を標準的に定めることが出来ないという点で，ベクトル空間ではなく，ベクトル空間が作用するアフィン空間に相当します．
参照：位相空間
Mathematics is the language with which God has written the universe.
