ユークリッド空間 Euclidean space

内積が定義されている $n$ 次元ベクトル空間のことをユークリッド空間[Euclidean space]といいます.

n次元ユークリッド空間[Euclidean space]

$n$次元ユークリッド空間とは,集合\[\mathbb{R}:=\{ x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n});x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n} \in \mathbb{R}\}\]であって,かつ,内積を持ち,以下の性質を持つベクトル空間を持つものと定義されます.\[x=(x_{1},\cdots,x_{n}),y=(y_{1},\cdots,y_{n}) \in \mathbb{R}^{n},\alpha \in \mathbb{R}\]
  • 相当性:\[x=y \Longleftrightarrow x_{i}=y_{i}(i=1,\cdots,n)\]
  • 加法:\[x+y=(x_{1}+y_{1},\cdots,x_{n}+y_{n}) \in \mathbb{R}^{n}\]
  • スカラー乗法:\[\alpha x=(\alpha x_{1},\cdots,\alpha x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}\]
  • 内積:\[(x,y):=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\]

1次元の場合は実数直線,2次元の場合はデカルト平面がユークリッド空間[Euclidean space]となります.また,ユークリッド空間[Euclidean space]は原点の位置を標準的に定めることが出来ないという点で,ベクトル空間ではなく,ベクトル空間が作用するアフィン空間に相当します.


参照:位相空間

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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