有限加法族

有限加法族

標本空間 $\Omega$ の部分集合からなる$\mathcal{F}$ で,$\Omega \in \mathcal{F}$ を満たしているものの中で以下の条件をも満たすとき,$\mathcal{F}$ を有限加法族[集合体]という.
  1. 任意の $A \in \mathcal{F}$ に対して,$A^{c} := \Omega \setminus A \in \mathcal{F}$.但し,$\Omega^{c} = \varnothing$.
  2. $A_{1},A_{2} \in \mathcal{F} \Rightarrow A_{1} \cup A_{2} \in \mathcal{F}$

$\sigma$-加法族

有限加法族 $\mathcal{F}$ が以下の条件を満たす場合,$\mathcal{F}$ を$\sigma$-加法族[$\sigma$-field]という.\[ A_{i} \in \mathcal{F}(i=1,2,...) \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}A_{i} \in \mathcal{F}\]

$\sigma$-加法族$\mathcal{F}$ の元[要素]は事象[event]と言われる.

また,$\sigma$-加法族$\mathcal{F}$ は確率を測ることができる集合を集めたものとなっている.有限加法族は,$\sigma$-加法族の定義において,可算無限個の和集合に関する条件を有限個の和集合にのみ制限したものとなっている.$\sigma$-加法族$は常に有限加法族であるが,一般的に有限加法族は常に$\sigma$-加法族$とは限らない.

$\sigma$-加法族$\mathcal{F}$ は完全加法族ともいう.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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