確率分布

確率分布[probability distribution]

$\Omega$を有限集合もしくは可算集合とするとき,$\Omega$から実数への関数$p$であって,
  • 任意の$\omega \in \Omega$について$p(\omega) \ge 0$
  • $\sum_{\omega \in \Omega}p(\omega)=1$
の条件を満たすものを確率分布[probability distribution]もしくは確率関数[probability function]という.

実数全体の集合\[\mathbb{R}=\{-\infty < x < \infty \} \]において確率空間[probability space]を考える.

実数の集合$\mathbb{R}$は非可算集合であり無限集合であるので,可算集合を仮定した確率分布[probability distribution]を使うことはできない.

確率分布[probability distribution]

実数全体の集合$\mathbb{R}$から実数への関数$p$であって,
  • 任意の$x \in \mathbb{R}$について$p(x) \ge 0$
  • 任意の$a,b \in \mathbb{R}$に関して,集合$A=\{x \in \mathbb{R}|a < x < b\}$における$\int_{A}p(x)dx$が有限確定値
の条件を満たすものを確率分布[probability distribution]もしくは確率密度関数[probability density function]という.

積分値である\[P(A)=\int_{A}p(x)dx \]が有限確定であれば,$x \in A$となる確率が$P(A)$として定義できる.

$P(A)$が有限確定となる集合$A$から作られる集合族が$\sigma$-加法族[sigma-algebra]である.

参照:


Mathematics is the language with which God has written the universe.





















T空間 - 確率分布 - 準凹関数と凹関数 - 群の準同型写像 - ラグランジアン